Question

16．已知，如圖（1），在矩形OABC中，OA=12，OC=9，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，Rt△DEF中，點D與點O重合，∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，∠AOB=∠FOE．
（1）填空：直線OB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x；圖（1）點E的坐標(biāo)是（3，-4）；
（2）如圖（2），若將△DEF沿著射線OB方向平移，設(shè)平移的距離為k，當(dāng)點E恰好平移到線段OC上時，求平移的距離k的值；
（3）在（2）問的情況下，即當(dāng)點E平移到線段OC上時，是否存在直線OB上的點M和線段BC上的點N，使以D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（4）如圖（3），直線AK：y=x+b經(jīng)過點A，如果點P在y軸上，且位于點A的下方，點G在直線AK上，是否存在射線OB上點Q，使得以A、P、Q、G為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出Q點的橫坐標(biāo)；簡要說明理由；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EM⊥OF于M．利用待定系數(shù)法可以確定直線OB解析式，根據(jù)$\frac{1}{2}$DF•EM=$\frac{1}{2}$•DE•EF，求出EM，即可求出點E坐標(biāo)．
（2）如圖2中，由DM∥BC，得$\frac{OM}{OC}$=$\frac{DM}{BC}$，求出OM即可解決問題．
（3）存在．分兩種情形①如圖3中，當(dāng)DE為平行四邊形DENM的邊時，作MF⊥BC于F．②如圖4中，當(dāng)DE為平行四邊形DNEM的對角線時，DE交ON于F．分別求出點坐標(biāo)即可．
（4）存在．分兩種情形①如圖5中，四邊形AGQP是菱形時，AG=GQ，設(shè)Q（m，$\frac{4}{3}$m），②如圖6中，四邊形AGPQ是菱形時，PA交GQ于點D，分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作EM⊥OF于M．

設(shè)OB解析式為y=kx，把B（9，12）代入得12=9k，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直線OB解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
 在Rt△DEF中，∵∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$DF•EM=$\frac{1}{2}$•DE•EF，
∴EM=3，
∴OM=$\sqrt{D{E}^{2}-E{M}^{2}}$=4，
∴點E坐標(biāo)（3，-4），
故答案分別為y=$\frac{4}{3}$x，（3，-4）．

（2）如圖2中，當(dāng)點E在OC上時，由（1）可知，EM=3．DM=4，

∵DM∥BC，
∴$\frac{OM}{OC}$=$\frac{DM}{BC}$，
∴OM=$\frac{DM•OC}{BC}$=$\frac{4×9}{12}$=3，
∴OD=$\sqrt{O{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴當(dāng)點E恰好平移到線段OC上時，求平移的距離k為5．

（3）存在，理由如下：
①如圖3中，當(dāng)DE為平行四邊形DENM的邊時，作MF⊥BC于F．

∵DE=MN=5，∠MNB=∠MBN，
∴MB=MN=5，
∵M(jìn)F∥OC，
∴$\frac{MF}{OC}$=$\frac{MB}{BO}$，
∴MF=$\frac{BM•CO}{BO}$=$\frac{5×9}{15}$=3，
∴BF=$\sqrt{M{B}^{2}-M{F}^{2}}$=4，
∴點M坐標(biāo)（6，8）．
②如圖4中，當(dāng)DE為平行四邊形DNEM的對角線時，DE交ON于F．

∵點F坐標(biāo)（4.5，2），設(shè)點M坐標(biāo)為（x，y），
則4.5=$\frac{x+9}{2}$，
∴x=0，
∴點M坐標(biāo)為（0，0），
綜上所述D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M坐標(biāo)為（0，0）或（6.8）．

（4）存在，理由如下：
①如圖5中，四邊形AGQP是菱形時，AG=GQ，設(shè)Q（m，$\frac{4}{3}$m），

∵直線AK解析式y(tǒng)=x+b經(jīng)過A（0，12），
∴b=12，
∴直線AK解析式為y=x+12，
∴點G坐標(biāo)（m，m+12），
∴$\sqrt{2}$m=m+12-$\frac{4}{3}$m．
∴m=$\frac{36（3\sqrt{2}-1）}{17}$．
②如圖6中，四邊形AGPQ是菱形時，PA交GQ于點D，

∵∠GAD=45°，
∴∠QAD=∠DAQ=45°，
∴∠GAQ=90°，
∴四邊形GAQP是正方形，設(shè)Q（m，$\frac{4}{3}$m），
∵DQ∥AB，
∴$\frac{DQ}{AB}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{m}{9}$=$\frac{12-m}{12}$，
∴m=$\frac{36}{7}$，
綜上所述A、P、Q、G為頂點的四邊形是菱形時，點Q的橫坐標(biāo)為$\frac{36}{7}$或$\frac{36（3\sqrt{2}-1）}{17}$．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，需要正確畫好圖象，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．