Question

8．如圖所示．拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，5）兩點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若拋物線的頂點為點D，對稱軸所在的直線交x軸于點E，連接AD，點F為AD的中點．求出線段EF的長．
（3）點M（0，2）在y軸上，點E在對稱軸上，在直線AD上找一點F，使ME+EF最小，并求出點的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標分別代入函數(shù)關(guān)系式，得到關(guān)于b、c的方程組，通過解方程組得到它們的值；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進行解答；
（3）點M關(guān)于對稱軸的對稱點為點M′，連接FM′，設(shè)直線FM′與對稱軸x=1的交點為E，則此時ME+EF的值最小，再求得點E的坐標．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故該拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖1，由（1）知，∵拋物線的解析式是為：y=x²-2x-3．
∴y=（x-3）（x+1），則A（-1，0）．
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
∴AD=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵點F為AD的中點，
∴EF是直角△AED斜邊上的中線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$；

（3）∵由（2）知，頂點D（1，-4），
∴對稱軸是x=1．
∵M（0，2）與點M′關(guān)于直線x=1對稱，
∴M′（2，2）
如圖2，設(shè)直線FM′與對稱軸x=1的交點為E，則此時ME+EF的值最�。�
∵ME+EF=M′E+EF=M′F．
∴當FM′⊥AD時，ME+EF的值最�。�
∵A（-1，0）、D（1，-4），
∴直線AD的解析式為：y=-2x-2，
∴設(shè)直線FM′為y=$\frac{1}{2}$x+a．
把M′（2，2）代入得到：2=$\frac{1}{2}$×2+a，
解得a=1．
∴直線FM′的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{x=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故點E的坐標是（1，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．拋物線與x軸的交點問題，軸對稱-最短路線問題，求得拋物線的解析式和直線的解析式是解題的關(guān)鍵．