Question

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10$\sqrt{3}$，∠A=30°，求BD+$\frac{1}{2}$AD和2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值．

Answer 1

分析 在AC的上方作∠EAC=30°，延長BC交AE于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F交AC于點(diǎn)D，此時(shí)BD+$\frac{1}{2}$AD最小，根據(jù)邊角關(guān)系可得出△ABE為等邊三角形，由此即可得出BD+$\frac{1}{2}$AD的最小值；在AC的上方作∠MAC=45°，延長BC交AM于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥AM于點(diǎn)N交AC于點(diǎn)D，此時(shí)2BD+$\sqrt{2}$AD最小，根據(jù)邊角關(guān)系可得出△BMN為等腰直角三角形，利用特殊角的三角形函數(shù)值找出BC和AC的長度，進(jìn)而可得出BF的長度，由此即可得出2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值．

解答 解：在AC的上方作∠EAC=30°，延長BC交AE于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F交AC于點(diǎn)D，此時(shí)BD+$\frac{1}{2}$AD最小，如圖1所示．
∵∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴∠BAE=60°．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BE．
∵AC為∠BAE的角平分線，
∴△ABE為等邊三角形．
∵AB=10$\sqrt{3}$，
∴BE=BD+DF=BD+$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=15．
∴BD+$\frac{1}{2}$AD的最小值為15．
在AC的上方作∠MAC=45°，延長BC交AM于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥AM于點(diǎn)N交AC于點(diǎn)D，此時(shí)2BD+$\sqrt{2}$AD最小，如圖2所示．
∵∠MAC=45°，∠ACB=90°，
∴△ACM為等腰直角三角形，∠AMC=45°．
在Rt△ABC中，AB=10$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=5$\sqrt{3}$，AC=AB•cos∠BAC=15．
∴MC=AC=15．
∵BN⊥AM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∵BM=BC+MC=5$\sqrt{3}$+15，
∴BN=BD+DN=BD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM=$\frac{5\sqrt{6}+15\sqrt{2}}{2}$，
∴2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值為5$\sqrt{6}$+15$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)D的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．