Question

14．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（0，-2），M在x軸正半軸上，⊙M過(guò)A、C兩點(diǎn)且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求M點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)（如圖1）；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷直線CD與⊙M的位置關(guān)系．說(shuō)明理由（如圖2）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（0，-2），得到OA=1，OC=2，OM=CM-1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，列方程組即可得到經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，配方得到D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；求得CD直線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-2，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，0），根據(jù)勾股定理得到CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，于是得到直線CD與⊙M相切．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（0，-2），
∴OA=1，OC=2，OM=CM-1，
∵CM²=OM²+OC²，
∴CM²=（CM-1）²+2²，
∴CM=2.5，OM=1.5，
∴OB=4，
∴M（1.5，0），B（4，0）；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=16a+4b+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
直線CD與⊙M相切；
設(shè)過(guò)CD直線的解析式為y=kx+b，
∵拋物線的頂點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴CD直線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，0），
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴EM=OE+OM=$\frac{25}{6}$，
∵CM²=$\frac{25}{4}$，CE²=$\frac{100}{9}$，EM²=$\frac{625}{36}$，
∴CM²+CE²=EM²，
∴△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，
∴直線CD與⊙M相切．

點(diǎn)評(píng) 此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的切線的有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，難度較大．