Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，連接OC，交⊙O于點D，連接BD并延長，交AC于點E，過點O作OF∥BE，交AC于點F，連接DF．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AC=$\sqrt{3}$，DC=1．求：
①⊙O的半徑；
②DE的長度．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由AB是⊙O的直徑及OF∥BE可得AD⊥BD、OF⊥AD，根據(jù)OA=OD得OF是AD的中垂線、∠1=∠2，繼而知FA=FD，即∠3=∠4，從而由∠1+∠4=∠2+∠3，即∠ODF=∠OAF=90°，即可得證；
（2）①設(shè)⊙O的半徑為R，由OA²+AC²=OC²列方程求解可得R；
②由OD=CD=1、∠ODF=90°知FO=FC，根據(jù)AO²+AF²=OF²即1+（$\sqrt{3}$-OF）²=OF²，解之可得OF的長，再由OF∥DE且OD=CD知DE=$\frac{1}{2}$OF，可得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
如圖，連接AD，

又∵OF∥BE，
∴OF⊥AD，
∵OA=OD，
∴OF是AD的中垂線，且∠1=∠2，
∴FA=FD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠ODF=∠OAF=90°，
∴DF為⊙O的切線；

（2）①設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OAC中，∵OA²+AC²=OC²，
∴R²+（$\sqrt{3}$）²=（R+1）²，
解得：R=1，
∴⊙O的半徑為1；
②∵OD=CD=1，且∠ODF=90°，
∴FO=FC，
在Rt△AOF中，∵AO²+AF²=OF²，
∴1+（$\sqrt{3}$-OF）²=OF²，
解得：OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OF∥DE，且OD=CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查圓的切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、中垂線的性質(zhì)及中位線定理，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．