Question

16．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，若△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，若△PCF的面積恰好等于矩形OABC的面積，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式求得k值，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入求得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)△FBC∽△DEB，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等確定點(diǎn)F的坐標(biāo)后即可求得直線FB的解析式．
（3）先求出CF，再用△PCF的面積恰好等于矩形OABC的面積，求出PG（點(diǎn)P橫坐標(biāo)）即可．

解答 解：（1）∵BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），
∴BC=2，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得k=1×3=3；
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$，
∵BA∥y軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等為2，
∵點(diǎn)E在雙曲線上，
∴y=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）；
（2）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
∴BD=1，BE=$\frac{3}{2}$，BC=2
∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{CF}{DB}=\frac{BC}{EB}$．
即：$\frac{CF}{1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}$，
∴FC=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$），
設(shè)直線FB的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0）
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{5}{3}$，
∴直線FB的解析式y(tǒng)=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
（3）如圖，過點(diǎn)P作PG⊥y軸，

由（2）有，直線FB的解析式y(tǒng)=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴F（0，$\frac{5}{3}$），
∵C（0，3），
∴CF=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），
∴OA=2，OC=3，
∴S_矩形OABC=2×3=6，
∵若△PCF的面積恰好等于矩形OABC的面積，
∴S_△PCF=6，
∴S_△PCF=$\frac{1}{2}$×CF×PG=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×PG=6，
∴PG=9，
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，
∴P（9，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 此題是反比例函數(shù)解析式，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及矩形的性質(zhì)，面積公式，解本題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)的解析式，解題時(shí)注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的相互轉(zhuǎn)化．