Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=a（x+1）（x-3）的圖象從左到右依次交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，該函數(shù)的最大值為4．
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的圖象上，其橫坐標(biāo)為t，AP交y軸的正半軸于點(diǎn)D，點(diǎn)Q在射線BA上，BQ=OA+2OD，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，OE=2OA，直線EQ交直線PC于點(diǎn)F，求t為何值時(shí)，F(xiàn)C=FQ．

Answer 1

分析 （1）先確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）先確定出直線AP的解析式，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再確定出BQ解析式即可；
（3）先判斷出△FMC≌△FNQ，再求出CP解析式，最后分點(diǎn)Q在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況計(jì)算即可．

解答 解（1）拋物線y=a（x+1）（x-3）的圖象從左到右依次交x軸于點(diǎn)A、B，
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-1或x=3
∴A（-1，0），B（3，0）
∴拋物線的對稱軸為直線x=1
∵函數(shù)的最大值為4
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
∴（1+1）（1-3）a=4
∴a=-1
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
（2）∵P（t，-（t+1）（t-3）），A（-1，0）
∴直線AP的解析式為y=（3-t）x+3-t
∴D（0，3-t）
∴OD=3-t，OA=1，
∴BQ=OA+2OD=1+2（3-t）=7-2t
∴d=3-（7-2t）=2t-4
（0＜t＜3）
（3）如圖2，

過P作PG⊥y軸于點(diǎn)G
∴G（0，-t²+2t+3），
∴CG=t²-2t，PG=t，
∴tan∠PCG=t-2
∵OE=2OA=2，
∴E（0，-2），
∴tan∠EQO=$\frac{2t-4}{2}$=t-2=tan∠PCG
∴∠EQO=∠PCG，
∴∠FQN=∠EQO=∠PCG
過F作FM⊥y軸于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥x軸于點(diǎn)N，
∴∠FMC=∠FNQ=90°
∵FC=FQ，
∴△FMC≌△FNQ
∴FM=FN
∵C（0，3），P（t，-（t+1）（t-3））
∴CP的解析式為y=（2-t）x+3
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)O右側(cè)時(shí)，
設(shè)F（m，m），
∴3-m=m-（2t-4）
∴m=$\frac{2t-1}{2}$，
∴$\frac{2t-1}{2}$×（2-t）+3=$\frac{2t-1}{2}$
解得t=-1（舍）或t=$\frac{5}{2}$
當(dāng)點(diǎn)Q在O點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
設(shè)F（-n，n），3-n=2t-4+n
∴n=$\frac{7-2t}{2}$，
∴$\frac{7-2t}{2}$×（2-t）+3=$\frac{7-2t}{2}$
∴t=5（舍）或t=$\frac{3}{2}$
∴t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)確定線段，作輔助線是解本題的難點(diǎn)．