Question

12．已知，如圖①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)到C，B兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交AB于點(diǎn)Q，在AC邊上取一點(diǎn)D，使QD=QP，連結(jié)DP，設(shè)CP=x
（1）求QP的長(zhǎng)，用含x的代數(shù)式表示．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△DPQ為直角三角形？
（3）記點(diǎn)D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D′．
①當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，求x的值；
②在①的條件下，如圖②，將此時(shí)的△DPQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜∠DPB），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)DP所在的直線與直線AB交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N，是否存在這樣的M，N兩點(diǎn)，使△AMN為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)AN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）因?yàn)椤鱀PQ為直角三角形，由題意只有∠DQP=90°，如圖2中，首先證明四邊形PCDQ是正方形，由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）①當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，如圖3中，設(shè)PQ與DD′交于點(diǎn)H．作D$′\\;M⊥BC$于M．由△QHD′∽△ACB，得$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，由D′M∥AC，得到$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，求出D′M，列出方程即可解決問(wèn)題．
②由題意只有旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，△AMN是等腰三角形，此時(shí)AN=AM．首先證明PA平分∠BAC，再根據(jù)△ACP∽△APN，得$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵PQ⊥BC，
∴∠QPB=∠C=90°，
∴PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}$（4-x）．

（2）因?yàn)椤鱀PQ為直角三角形，由題意只有∠DQP=90°，如圖2中，

∵∠DQP=∠C=∠QPC=90°，
∴四邊形PCDQ是矩形，
∵DQ=PQ，
∴四邊形PCDQ是正方形，
∵∴PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$，
∴當(dāng)x=$\frac{12}{7}$時(shí)，△PDQ是直角三角形．

（3）①當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，如圖3中，設(shè)PQ與DD′交于點(diǎn)H．作D$′\\;M⊥BC$于M．

∵∠QHD′=∠C=90°，∠HD′Q=∠B，
∴△QHD′∽△ACB，
∴$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，
∵D′M∥AC，
∴$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴$\frac{D′M}{3}$=$\frac{4-2x}{4}$，
∴D′M=3-$\frac{3}{2}$x，
∴QH=PQ-PH=3-$\frac{3}{4}x$-3+$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}$x，
∴$\frac{3-\frac{3}{4}x}{5}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{3}$，
∴x=$\frac{3}{2}$．
∴x=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)D′落在AB邊上．

②由題意只有旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，△AMN是等腰三角形，此時(shí)AN=AM．

作PH⊥AB于H，
∵PC=$\frac{3}{2}$，
∴PB=BC-PC=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵sin∠ABC=$\frac{PH}{PB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{PH}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$，
∴PC=PH，∵PC⊥AC，PH⊥AB，
∴PA平分∠BAC，
∵AN=AM，
∴AP⊥MN，
∵∠PAC=∠PAN，∠ACP=∠APN，
∴△ACP∽△APN，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}{AN}$，
∴AN=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考?jí)狠S題．