Question

4．已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)P在AB上（不與A、B重合），過(guò)P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連結(jié)EF，M為EF的中點(diǎn)，則CM的最小值為1.2．

Answer 1

分析 連接CP，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，判斷出四邊形CFPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EF=CP，再根據(jù)垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，則CM最小，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可．

解答 解：如圖，連接CP．
∵AC=3，BC=4，AB=5
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四邊形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，則CM最小，
此時(shí)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CP，
即$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×5•CP，
解得CP=2.4．
∴EF=2.4，
∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，
∴CM=1.2
故答案為：1.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理逆定理，判斷出CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用三角形的面積列出方程．