Question

已知y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，2），連接AC，BC．說明在y軸上是否存在點Q，當Q在y軸上運動時使∠AQB最大？若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設Q點的坐標為（0，y），在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，從而可表示出∠AQB的正切值，再利用正切值的增減性來判斷．

解答：解：
設Q點的坐標為（0，y），
∵點A為（1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，
∴tan∠AQB=tan（∠OQB-OQA）=

tan∠OQB-tan∠OQA

1+tan∠OQBtan∠OQA

=

3 y

1+ 4 y2

=

3

y+ 4 y

當y＞0時，y+

4

y

≥2

4

=4，當y=

4

y

即y=2時，y+

4

y

有最小值4，則

3

y+ 4 y

≤

3

4

，
即當y=2時，tan∠AQB有最大值，即∠AQB最大，此時Q點坐標為（0，2），
同理當y＜0時，可求得y=-2，此時點Q坐標為（0，-2），
綜上可知存在使∠AQB最大的點Q，坐標為（0，2）或（0，-2）．

點評：本題主要考查拋物線的交點問題，由條件求得∠AQB的三角函數的范圍是解題的關鍵．