Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分線AE交BC于點D，且AE⊥BE．
（1）求∠DBE的大��；
（2）求證：AD=2BE．

Answer 1

分析 （1）求出∠CAD，再證明∠DBE=∠CAD即可．
（2）先證明△AEB≌△AEG，推出BE=EG，再證明△ACD≌△BCG，推出AD=BG，由此即可證明．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∵AE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴∠ACD=∠BED=90°，∵∠ADC=∠BDE，
∴∠DBE=∠CAD=22.5°．

（2）延長AC、BE交于點G．
∵AE⊥BG，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在△AEB和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠GAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEG}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEG，
∴BE=EG，
在△ACD和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠CBG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCG，
∴AD=BG=2BE，
∴AD=2BE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．