Question

15．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（3，-3.2），且與y軸交于點(diǎn)B（0，4），交x軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，a），求當(dāng)|MA-MC|最大時(shí)a的值；
（3）連接BD，探索：在直線BD下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△BND的面積最大？若存在，請你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析即可；
（2）利用點(diǎn)M在直線AC上時(shí)，|MA-MC|最大，進(jìn)而得出直線AC的解析式，求出a的值；
（3）首先表示出直線BD的解析式，進(jìn)而表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出NG的長，利用二次函數(shù)最值求法得出答案．

解答 解；（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（3，-3.2），
∴設(shè)此拋物線解析式為：y=a（x-3）²-3.2，
∵與y軸交于點(diǎn)B（0，4），
∴a（0-3）²-3.2=4，
解得：a=$\frac{4}{5}$，
∴此拋物線的解析式為：y=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，即y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4；

（2）∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，
∴點(diǎn)M在直線AC上時(shí)，|MA-MC|最大，
如圖所示，連接AC并延長交y軸于點(diǎn)M，
對于y=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，取y=0，得
0=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)為：C（1，0），D（5，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵y=kx+b的圖象過點(diǎn)（3，-3.2）與（1，0）所以
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-3.2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{8}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-$\frac{8}{5}$x+$\frac{8}{5}$，
∵點(diǎn)M坐標(biāo)為：（0，a），
∴a=$\frac{8}{5}$；

（3）如圖所示：在直線BD的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△BND面積最大，
設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4），其中0＜t＜5，
過點(diǎn)N作NG∥y軸，交BD于G，
設(shè)直線BD的解析式為y=cx+d，
把點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)D（5，0），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{5c+d=0}\\{d=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{4}{5}}\\{d=4}\end{array}\right.$，
故直線BD的解析式為：y=-$\frac{4}{5}$x+4，
把x=t代入得：y=-$\frac{4}{5}$t+4，則G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
∴NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）=-$\frac{4}{5}$t²-4t，
∴S_△BND=$\frac{1}{2}$NG•OD=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$t²+4t）×5
=-2t²+10t
=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，△BND的面積最大為：$\frac{25}{2}$，
由t=$\frac{5}{2}$，得y=$\frac{4}{5}$×（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{24}{5}$×$\frac{5}{2}$+4=-3，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為：N（$\frac{5}{2}$，-3）．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值求法、三角形面積表示方法等知識，正確表示出NG的長是解題關(guān)鍵．