Question

8．如圖，△ABC中，AD是BC邊的中線，分別過點B，D作AD，AB的平行線交于點E，且ED交AC于點F，AD=2DF．
（1）求證：四邊形ABED為菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，利用三角形中位線定理可以證明AD=AB即可．
（2）求出菱形的對角線即可求面積．

解答 （1）證明：∵AD是BC邊中線，
∴DC=DB，DF∥AB，
∴CF=FA，
∴AB=2DF，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∵AD∥BE，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，∵AD=AB，
∴四邊形ABED是菱形．
（2）連接AE交BD于O，∵∠DEB=60°，四邊形ABED是菱形，
∴△BDE、△ABD是等邊三角形，DO=BO=3，
在RT△DOE中，∵DO=3，∠EDO=60°，DE=6，
∴EO=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE=2EO=6$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABED=$\frac{1}{2}$•AE•BD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的判定和性質、三角形中位線定理、菱形的面積公式，記住菱形的面積等于對角線乘積的一半，屬于中考�？碱}型．