Question

15．如圖，二次函數(shù)y=-ax²+2ax+c（a＞0）的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，過A的直線y=kx+2k（k≠0）與這個二次函數(shù)圖象交于另一點F，與其對稱軸交于點E，與y軸交于點D，且DE=EF．
（1）求A點坐標；
（2）若△BDF的面積為12，求此二次函數(shù)的表達式；
（3）設二次函數(shù)圖象頂點為P，連接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析 （1）求出一次函數(shù)值為0時對應的自變量的值可得到A點坐標；
（2）利用二次函數(shù)的性質得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則利用對稱性得到B點坐標為（4，0），把A點坐標代入得c=8a，則拋物線解析式為y=-ax²+2ax+8a，再根據(jù)DE=EF可確定F（2，8a），接著把F（2，8a）代入一次函數(shù)得到y(tǒng)=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（4+2）•8a-$\frac{1}{2}$•（4+2）•4a=12，于是解方程求出a，從而得到拋物線解析式；
（3）利用拋物線的解析式為y=-ax²+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），則可判斷CF∥x軸，所以E（1，8a），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷△PCF為等腰三角形，則∠CPF=2∠CPE，于是可證明∠DAB=∠CPE，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，從而得到拋物線解析式．

解答 解：（1）當y=0時，kx+2k=0，解得x=-2，則A（-2，0）；
（2）∵二次函數(shù)y=-ax²+2ax+c（a＞0）的圖象的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}{2×（-a）}$=1，
∴B點坐標為（4，0），
把A（-2，0）代入y=-ax²+2ax+c得-4a-4a+c=0，
∴c=8a，
∴拋物線解析式為y=-ax²+2ax+8a，
∵DE=EF，
∴F點的橫坐標為2，
∴F（2，8a），
把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得k=2a，
∴y=2ax+4a，
當x=0時，y=4a，則D（0，4a），
∵S_△BDF=S_△FAB-S_△DAB，
∴$\frac{1}{2}$•（4+2）•8a-$\frac{1}{2}$•（4+2）•4a=12，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+8；
（3）拋物線的解析式表示為y=-ax²+2ax+8a，D（0，4a），F(xiàn)（2，8a），
當x=0時，y=-ax²+2ax+8a=8a，則C（0，8a），
當x=1時，y=-ax²+2ax+8a=9a，則P（1，9a），
∵F（2，8a），C（0，8a），
∴CF∥x軸，E（1，8a），
∴△PCF為等腰三角形，
∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE，
∵∠CPF=2∠DAB，
∴∠DAB=∠CPE，
∴Rt△ADO∽Rt△PCE，
∴$\frac{AO}{PE}$=$\frac{OD}{CE}$，即$\frac{2}{a}$=$\frac{4a}{1}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∴拋物線的解析式表示為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質；會求二次函數(shù)和一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標；能利用相似比表示線段之間的關系；理解坐標與圖形性質．