Question

16．如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$上，第二象限的點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，∠A=30°，則k的值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．設(shè)A（x，$\frac{1}{x}$），則ON•AN=1，由tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得出=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．通過△MBO∽△NOA的對應(yīng)邊成比例求得k=-OM•BM=-$\frac{1}{3}$．

解答 解：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．
∵第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y的圖象上，
∴設(shè)A（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），ON•AN=1．
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA，$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN．
又∵第二象限的點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$．
故答案為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出B的坐標．