Question

4．如圖，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）經(jīng)過A（4，0）和B（0，4）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C．
（1）求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)．
①設(shè)△ABM的面積為S，試求S的最大值；
②若S為整數(shù)，則這樣的M點(diǎn)有7個(gè)．

Answer 1

分析 （1）先利用拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）（x-4），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線的解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式可得C的坐標(biāo)；
（2）①過M點(diǎn)作MN∥y軸交AB于N點(diǎn)，如圖，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，則可設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+4），則N（t，-t+4），于是用t可表示出MN，再利用S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$•4•MN得到S與m的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
②利用S的整數(shù)值可為1、2、3、4，則計(jì)算出對(duì)應(yīng)的t的值，從而可判斷M點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），
把B（0，4）代入得a•2•（-4）=4，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
∵y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）；
（2）①過M點(diǎn)作MN∥y軸交AB于N點(diǎn)，如圖，
設(shè)AB的解析式為y=mx+n，把B（0，4）、A（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+4，
設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+4），則N（t，-t+4），
∴MN=-$\frac{1}{2}$t²+t+4-（-t+4）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$•4•MN=$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值為4；
②∵S的最大值為4，
∴S的整數(shù)值可為1、2、3、4，
當(dāng)S=1時(shí)，-（t-2）²+4=1，解得t=2±$\sqrt{3}$，
當(dāng)S=2時(shí)，-（t-2）²+4=2，解得t=2±$\sqrt{2}$，
當(dāng)S=3時(shí)，-（t-2）²+4=3，解得t=1或3，
當(dāng)S=4時(shí)，-（t-2）²+4=4，解得t=2，
∴這樣的M點(diǎn)有7個(gè)．
故答案為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．