Question

14．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=10，點(diǎn)D是AB上的一點(diǎn)，將△DBC沿著CD折疊，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，連接AE，當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，AE=$\frac{34}{5}$．

Answer 1

分析 連接EB交CD于點(diǎn)F，根據(jù)△BCD的面積等于△ABC的面積的一半求得△BCD的面積，根據(jù)面積公式求得BF的長(zhǎng)，再在直角△BDF中，利用勾股定理求得DF的長(zhǎng)，根據(jù)DF是△ABE的中位線即可求得．

解答 解：連接EB交CD于點(diǎn)F．
∵B和E關(guān)于CD對(duì)稱，
∴BE⊥CD，且BF=EF．
在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{21}$×4=4$\sqrt{21}$，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$．
∴$\frac{1}{2}$CD•BF=2$\sqrt{21}$，
解得：BF=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$．
∴在直角△BDF中，DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{4\sqrt{21}}{5}）^{2}}$=$\frac{17}{5}$．
∵BF=EF，AD=BD，
∴AE=2DF=2×$\frac{17}{5}$=$\frac{34}{5}$．
故答案為：$\frac{34}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角形以及勾股定理和翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)已知得出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．