Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M在x軸上，⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，
D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點，若點A的坐標(biāo)為（-2，0），AE=8．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）連接MG，BC，求證：MG∥BC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)MC交AE于H，如圖，由于C為弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理得到MC⊥AE，AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=4，再證明△AMH≌△CMO得到AH=OC=4，于是可得到C點坐標(biāo)；
（2）延長MG交AC于N，如圖，由于AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到弧AC=弧AD，加上C為弧AE的中點，則弧AD=弧CE，根據(jù)圓周角定理得∠CAE=∠ACD，則GA=GC，根據(jù)垂直平分線定理的逆定理可判斷MN垂直平分AC，
接著根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ACB=90°，然后根據(jù)平行線的判定方法即可得到MG∥BC．

解答 （1）證明：連結(jié)MC交AE于H，如圖，
∵C為弧AE的中點，
∴MC⊥AE，AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=4，
在△AMH和△CMO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHM=∠COM}\\{∠AMH=∠CMO}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△CMO，
∴AH=OC=4，
∴C點坐標(biāo)為（0，4）；
（2）證明：延長MG交AC于N，如圖，
∵AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
而C為弧AE的中點，
∴弧AD=弧CE，
∴∠CAE=∠ACD，
∴GA=GC，
而MC=MA，
∴MN垂直平分AC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴MG∥BC．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和圓周角定理；會運用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段相等；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．