Question

2．用兩種方法證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線．
求證：CD=$\frac{1}{2}$AB．
證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE=∠B，
CE與AB相交于點E．
∵∠BCE=∠B，
∴①．
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵②，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2．

Answer 1

分析 證法1：在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE=∠B，證明CE與CD重合即可；
證法2：延長CD至點E，使得DE=CD，連接AE、BE．證明四邊形ACBE是平行四邊形．再證出四邊形ACBE是矩形．得出AB=CE，即可得出結(jié)論．

解答 解：證法1：如圖2，在∠ACB的內(nèi)部作∠BCE=∠B，
CE與AB相交于點E．
∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
 故答案為：EC=EB；∠A+∠B=90°；

證法2：延長CD至點E，使得DE=CD，連接AE、BE．如圖3所示：
∵AD=DB，DE=CD．
∴四邊形ACBE是平行四邊形．
又∵∠ACB=90°，
∴四邊形ACBE是矩形．
∴AB=CE，
又∵CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．

點評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．