Question

7．平行四邊形ABCD的兩個頂點A、C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上，點B、D在x軸上，且B、D兩點關(guān)于原點對稱，AD交y軸于P點
（1）已知點A的坐標(biāo)是（2，3），求k的值及C點的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，若△APO的面積為2，求點D到直線AC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A的坐標(biāo)是（2，3），平行四邊形ABCD的兩個頂點A、C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上，點B、D在x軸上，且B、D兩點關(guān)于原點對稱，可以求得k的值和點C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)△APO的面積為2，可以求得OP的長，從而可以求得點P的坐標(biāo)，進而可以求得直線AP的解析式，從而可以求得點D的坐標(biāo)，再根據(jù)點到直線的距離公式可以求得點D到直線AC的距離．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)是（2，3），平行四邊形ABCD的兩個頂點A、C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上，點B、D在x軸上，且B、D兩點關(guān)于原點對稱，
∴3=$\frac{k}{2}$，點C與點A關(guān)于原點O對稱，
∴k=6，C（-2，-3），
即k的值是6，C點的坐標(biāo)是（-2，-3）；
（2）過點A作AN⊥y軸于點N，過點D作DM⊥AC，如圖，
∵點A（2，3），k=6，
∴AN=2，
∵△APO的面積為2，
∴$\frac{OP•AN}{2}=2$，
即$\frac{OP•2}{2}=2$，得OP=2，
∴點P（0，2），
設(shè)過點A（2，3），P（0，2）的直線解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴過點A（2，3），P（0，2）的直線解析式為y=0.5x+2，
當(dāng)y=0時，0=0.5x+2，得x=-4，
∴點D的坐標(biāo)為（-4，0），
設(shè)過點A（2，3），B（-2，-3）的直線解析式為y=mx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{-2m+n=-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=1.5}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴過點A（2，3），C（-2，-3）的直線解析式為y=1.5x，
∴點D到直線AC的直線得距離為：$\frac{|1.5×（-4）-0|}{\sqrt{1．{5}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．