Question

2．如圖，CD是一高為4米的平臺，AB是與CD底部相平的一棵樹，在平臺頂C點(diǎn)測得樹頂A點(diǎn)的仰角α=30°，從平臺底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測得樹頂A點(diǎn)的仰角β=60°，求樹高AB（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)AF=x米，在直角△ACF中利用三角函數(shù)用x表示出CF的長，在直角△ABE中表示出BE的長，然后根據(jù)CF-BE=DE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得AB的長．

解答 解：作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$，
則CF=$\frac{AF}{tan∠ACF}$=$\frac{x}{tanα}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），
在直角△ABF中，tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$，則BE=$\frac{AB}{tan∠AEB}$=$\frac{x+4}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）米．
∵CF-BE=DE，即$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）=3．
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$，
則AB=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$+4=$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$（米）．
答：樹高AB是$\frac{3\sqrt{3}+12}{2}$米．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識表示出相關(guān)線段的長度．