Question

1．如圖1，已知正方形ABCD邊長為4，點E、F分別在BC、DC上，AE⊥EF，連接AF．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）若△ABE∽△AEF，求證：BE=CE；
（3）如圖2，在（2）的條件下，動點Q從點F出發(fā)沿FA向終點A勻速移動，同時動點P從點D出發(fā)沿DF向終點F勻速移動，當一點到達終點停止移動時，另一點也停止移動；己知P、Q兩點移動的速度均為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒，求當t為何值時，P、Q兩點到點D的距離相等？

Answer 1

分析 （1）由AE⊥EF可知，∠BAE=∠CEF，從而得△ABE∽△ECF．
（2）過點E作EH⊥AF于點H，由△ABE∽△AEF可知AE平分∠BAF，利用角平分線的性質(zhì)即可得出BE=CE；
（3）由題意可知PD=QF=t，又因為PD=QD，所以QF=QD，利用等腰三角形的三線合一即可求出t的值．

解答 證明：（1）∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）過點E作EH⊥AF于點H，
∵△ABE∽△AEF，
∴∠BAE=∠EAH，
∴AE平分∠BAH，
∵EB⊥AB，EH⊥AF，
∴BE=EH，
∵∠HEF+∠AEH=90°，
∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠HEF=∠EAH，
∴∠HEF=∠EAH=∠BAE=∠FEC，
∴EF平分∠HEC，
∵EH⊥AF，EC⊥CD，
∴EH=CE，
∴BE=EH=CE；
（3）由（1）可知：△ABE∽△ECF
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{CF}{CE}$，
∴CF=1，
∴DF=3，
∵AD=4，
∴由勾股定理可求得：AF=5，
由題意可知：PD=FQ=t，
當QD=PD時，
此時，QD=FQ，
過點Q作QG⊥DF于點G，
∴GF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{3}{2}$，
∵cos∠AFD=$\frac{DF}{AF}=\frac{FG}{QF}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{\frac{3}{2}}{t}$，
∴t=$\frac{5}{2}$，
即t=$\frac{5}{2}$時，PD=QD．

點評 本題考查相似綜合題，涉及勾股定理，銳角三角形函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合程度較高．