Question

6．已知正方形ABCD，過(guò)D點(diǎn)的直線l從DA開始，繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，E、A關(guān)于直線l對(duì)稱，連CE交直線l于F，連接DE、AF．
（1）如圖1，當(dāng)α=40°時(shí)，△AEF的形狀是等腰直角三角形（直接寫出結(jié)果）；
（2）如圖1，連BF，求證：BF⊥l；
（3）當(dāng)α=60°時(shí)，如圖2，連BF，若DF=$\sqrt{3}$-1，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)得到∠FEA=45°，F(xiàn)A=FE，得到答案；
（2）連接BF、BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及四點(diǎn)共圓得到∠BFD=90°，證明結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理和四點(diǎn)共圓解答即可．

解答 解：（1）由題意得，∠ADE=80°，DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=50°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=170°，
∵DE=DA=DC，
∴∠DEC=5°，
∴∠FEA=45°，
由翻折變換的性質(zhì)可知，F(xiàn)A=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（2）連接BF、BD，
∵∠ADE=2α，DE=DC，
∴∠DEC=$\frac{180°-90°-2α}{2}$=45°-α，
∠DEA=$\frac{180°-2α}{2}$=90°-α，
∴∠FEA=∠DEA-∠DEC=45°，
∴∠AFE=90°，
∴∠DFC=45°，又∠DBC=45°，
∴∠DFC=∠DBC，
∴F、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BFD+∠BCD=180°，
∴∠BFD=90°，即BF⊥l；
（3）∵∠AHD=∠AOD=90°，
∴A、H、D、O四點(diǎn)共圓，
∴∠AOH=∠ADH=60°，又H是AE的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴OH∥CE，
∴∠ACF=∠AOH=∠ADH=90°，
∴A、D、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CDF=30°，
設(shè)AD=CD=2a，則DH=a，AH=$\sqrt{3}$a，AC=2$\sqrt{2}$a，AF=$\sqrt{6}$a，
則FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
DF=$\sqrt{3}$a-a=$\sqrt{3}$-1，
解得，a=1，
AD=2，即正方形的邊長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角是直角、翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．