Question

2．如圖①，在平面直角坐標系中，A（-2，a），B（b，2），且$\sqrt{2a+3b-7}$+|4a-2b+10|=0．
（1）求A，B兩點坐標；
（2）點P是y軸上一動點，當S_△ABP不小于12時，求點P的縱坐標的取值范圍；
（3）如圖②，點P是y軸正半軸上一點，過點P作MN∥x軸，且∠BPN=45°，G在射線PB上，∠APN與∠ABG的角平分線交于點H，試探究∠PHB與∠A的數(shù)量關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得到2a+3b=7，4a-2b=-10，進而得出a，b的值，據(jù)此可得A，B兩點坐標；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{5}$，進而得出直線AB交y軸于（0，$\frac{1}{5}$），設P（0，y），根據(jù)S_△ABP不小于12時，$\frac{1}{2}$×|y-$\frac{1}{5}$|×（2+3）≥12，得到點P的縱坐標的取值范圍；
（3）根據(jù)∠ABG是△ABP的外角，得到∠A=∠ABG-∠APB，根據(jù)∠HBG是△PBH的外角，得出∠H=∠HBG-∠BPH，再根據(jù)∠APH=$\frac{1}{2}$∠APN，∠HBG=$\frac{1}{2}$∠ABG，即可得出∠PHB與∠A的數(shù)量關系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2a+3b-7}$+|4a-2b+10|=0，
∴2a+3b=7，4a-2b=-10，
解得a=-1，b=3，
∴A（-2，-1），B（3，2）；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+m，
把A（-2，-1），B（3，2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-1=-2k+m}\\{2=3k+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{m=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{5}$，
令x=0，則y=$\frac{1}{5}$，即直線AB交y軸于（0，$\frac{1}{5}$），
設P（0，y），則
當S_△ABP不小于12時，$\frac{1}{2}$×|y-$\frac{1}{5}$|×（2+3）≥12，
解得y≥5或y≤-$\frac{23}{5}$；
即點P的縱坐標不小于5或不大于-$\frac{23}{5}$；

（3）∠PHB與∠A的數(shù)量關系為：∠PHB=$\frac{1}{2}$（∠A+45°）．
理由：∵∠APN與∠ABG的角平分線交于點H，
∴∠APH=$\frac{1}{2}$∠APN，∠HBG=$\frac{1}{2}$∠ABG，
∵∠ABG是△ABP的外角，
∴∠A=∠ABG-∠APB，
∵∠HBG是△PBH的外角，
∴∠H=∠HBG-∠BPH
=$\frac{1}{2}$∠ABG-（∠APB-∠APH）
=$\frac{1}{2}$∠ABG-（∠APN-45°）+∠APH
=$\frac{1}{2}$∠ABG-∠APN+45°+$\frac{1}{2}$∠APN
=$\frac{1}{2}$∠ABG-$\frac{1}{2}$∠APN+45°
=$\frac{1}{2}$∠ABG-$\frac{1}{2}$（∠APB+45°）+45°
=$\frac{1}{2}$（∠ABG-∠APB）+$\frac{1}{2}$×45°
=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$×45°
=$\frac{1}{2}$（∠A+45°）．

點評 本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運用，解題時注意：非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0，利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．