Question

17．如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∠CBD=∠A．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若E為$\widehat{AB}$中點(diǎn)，BD=6，$sin∠BED=\frac{3}{5}$，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理和已知條件證出∠CBD+∠ABD=90°．得出∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．
（2）連接AE．由圓周角定理得出∠BAD=∠BED，得出$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．求出直徑AB=10．證出AE=BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE=45°，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠A=∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD=90°．
∴∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BC為⊙O的切線．
（2）解：連接AE．如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°．
∵∠BAD=∠BED，
∴$sin∠BAD=sin∠BED=\frac{3}{5}$． 
∴在Rt△ABD中，$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．
∵BD=6，
∴AB=10．
∵E為$\widehat{AB}$ 中點(diǎn)，
∴AE=BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE=45°．
∴$BE=AB•sin∠BAE=10×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=5\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，由三角函數(shù)求出直徑是解決問題（2）的關(guān)鍵．