Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點．動點P、Q在邊AB上同時從點D出發(fā)，點P沿D→A以1cm/s的速度向終點A運動．點Q沿D→B→D以2cm/s的速度運動，回到點D停止．以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN．將△PQN繞QN的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△MNQ．設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm²），點P運動的時間為t（s）（0＜t＜3）．
（1）當(dāng)點N落在邊BC上時，求t的值．
（2）當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，求t的值．
（3）當(dāng)點Q沿D→B運動時，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．
（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時t的值．

Answer 1

分析 （1）由題意知：當(dāng)點N落在邊BC上時，點Q與點B重合，此時DQ=3；
（2）當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，此時PD=DQ；
（3）當(dāng)$0＜t≤\frac{3}{5}$時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．
（4）MN、MQ與邊BC的有交點時，此時$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值．

解答 解：（1）∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，
∴當(dāng)點N落在邊BC上時，點Q與點B重合．
∴DQ=3
∴2t=3．
∴t=$\frac{3}{2}$；  
                                                            
（2）∵當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，
∴PD=DQ，
當(dāng)0＜t＜$\frac{3}{2}$時，
此時，PD=t，DQ=2t
∴t=2t
∴t=0（不合題意，舍去），
當(dāng)$\frac{3}{2}$≤t＜3時，
此時，PD=t，DQ=6-2t
∴t=6-2t，
解得t=2；      
綜上所述，當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，t=2；
                                                     
（3）由題意知：此時，PD=t，DQ=2t
當(dāng)點M在BC邊上時，
∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t，BQ=3-2t
∴3t=3-2t
∴解得t=$\frac{3}{5}$
如圖①，當(dāng)$0＜t≤\frac{3}{5}$時，
S_△PNQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PQ²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$t²；
∴S=S_菱形PQMN=2S_△PNQ=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$t²，
如圖②，當(dāng)$\frac{3}{5}＜t≤\frac{3}{2}$時，
設(shè)MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，
∵M(jìn)N=PQ=3t，NE=BQ=3-2t，
∴ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3，
∵△EMF是等邊三角形，
∴S_△EMF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ME²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5t-3）²
$S={S_{菱形PQMN}}-{S_{△MEF}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}{t^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（5t-3）^2}$．$S=-\frac{{7\sqrt{3}}}{4}{t^2}+\frac{{15\sqrt{3}}}{2}t-\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$；                                           

（4）MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F，
此時，$\frac{3}{5}$＜t＜$\frac{12}{5}$，
t=1或$t=\frac{15}{7}$．

點評 本題考查等邊三角形與菱形的性質(zhì)，涉及到等邊三角形的性質(zhì)與面積公式，平行四邊形和菱形的性質(zhì)與面積公式，解方程等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生將各知識點靈活結(jié)合．