Question

8．閱讀材料，解答下列問(wèn)題：
例：當(dāng)a＞0時(shí)，如a=5，則|a|=|5|=5，故此時(shí)a的絕對(duì)值是它本身；當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0，故此時(shí)a的絕對(duì)值是0；當(dāng)a＜0時(shí)，如a=-5，則|a|=|-5|=-（-5），故此時(shí)a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．綜上所述，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值要分三種情況，即：|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$，這種分析方法滲透了數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想．
（1）請(qǐng)仿照例中的分類(lèi)討論，分析$\sqrt{{a}^{2}}$的各種化簡(jiǎn)后的情況；
（2）猜想$\sqrt{{a}^{2}}$與|a|的大小關(guān)系；
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）分a＞0，a=0及a＜0三種情況進(jìn)行討論即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可得出結(jié)論；
（3）先判斷出x+1，x-2的符號(hào)，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)即可．

解答 解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，如a=5，則$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}}$=5，即$\sqrt{{a}^{2}}$=a；
當(dāng)a=0 時(shí)，$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{0}$=0，即$\sqrt{{a}^{2}}$=0；                     
當(dāng)a＜0時(shí)，如a=-5，則$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{（-5）^{2}}$=5，即$\sqrt{{a}^{2}}$=-a．   
綜合起來(lái)：$\sqrt{{a}^{2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$；
                                
（2）由（1）可知$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|；

（3）∵1＜x＜2，
∴x+1＞0，x-2＜0，
∴|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$
=|x+1|+|x-2|
=x+1-（x-2）
=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．