Question

已知：如圖等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC．

（1）求證：BE=AD；
（2）若將△ECD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個銳角，并延長BE交AD于點F，交AC于點O．求證：BF⊥AD；
（3）在②的條件下，取BE的中點M，取AD的中點N，求∠MNC的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）利用“邊角邊”證明△BEC和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AD；
（2）先求出∠BCE=∠ACD，再利用“邊角邊”證明△BEC和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBE=∠CAD，然后求出∠AFB=∠ACB=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）連接MC，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBE=∠CAD，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE，然后求出BM=AN，再利用“邊角邊”證明△BMC和△ANC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CM=CN，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BCM=∠ACN，再求出∠MCN=∠ACB=90°，判斷出△MCN是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．

解答：（1）證明：在△BEC和△ACD中，

AC=BC ∠ACB=∠ECD=90° EC=DC

，
∴△BEC≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BEC和△ACD中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD EC=DC

，
∴△BEC≌△ACD（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AD；

（3）如圖，連接MC，∵△BEC≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，AD=BE，
∵M是BE的中點，N是AD的中點，
∴BM=AN，
在△BMC和△ANC中，

BM=AN ∠CBE=∠CAD AC=BC

，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴CM=CN，∠BCM=∠ACN，
∴∠MCN=∠ACB=90°，
∴△MCN是等腰直角三角形，
∴∠MNC=45°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)與三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．