Question

12．如圖，已知拋物線y=x²-2x的頂點(diǎn)為A，直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且交y軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線y=2x+b與拋物線y=x²-2x的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△ACO的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y=x²-2x在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形相似于△ABO．請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再把點(diǎn)A代入y=2x+b，求出直線的解析式，即可解決問題，．
（2）利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線y=2x-3與x軸的解得E坐標(biāo)，根據(jù)S_△ACO=S_△OEC+S_△OEA即可解決問題．
（3）分兩種情形討論①如圖2中，由∠COQ=∠AOB=45°，當(dāng)$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$時(shí)，△COQ∽△AOB，$\frac{OQ}{3}$，當(dāng)$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$時(shí)，△COQ∽△BOA．②如圖3中，當(dāng)∠POQ=∠ABO時(shí)，
當(dāng)$\frac{AB}{OP}$=$\frac{OB}{OQ}$時(shí)，△ABO∽△POQ，當(dāng)$\frac{AB}{OQ}$=$\frac{OB}{OP}$時(shí)，△ABO∽△QOP．分別解方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)（1，-1），
∴直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-1），
∴b=-3，
∴直線解析式為y=2x-3，
令x=0，則y=-3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，-3），
∴A（1，-1），B（0，-3）．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，3），
∵直線y=2x-3與x軸交于點(diǎn)E（$\frac{3}{2}$，0），如圖1中，

∴S_△ACO=S_△OEC+S_△OEA=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=3．

（3）①如圖2中，∵∠COQ=∠AOB=45°，

當(dāng)$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$時(shí)，△COQ∽△AOB，即$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{OQ}{3}$，OQ=9，
當(dāng)$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$時(shí)，△COQ∽△BOA，即$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{OQ}{\sqrt{2}}$．OQ=2，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，9）或（0，2）．

②如圖3中，當(dāng)∠POQ=∠ABO時(shí)，

∵∠POQ=∠ABO，
∴OP∥BC，
∴直線OP的解析式為y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（4，8），
∴OP=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
當(dāng)$\frac{AB}{OP}$=$\frac{OB}{OQ}$時(shí)，△ABO∽△POQ，即$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{3}{OQ}$，OQ=12，
當(dāng)$\frac{AB}{OQ}$=$\frac{OB}{OP}$時(shí)，△ABO∽△QOP，即$\frac{\sqrt{5}}{OQ}$=$\frac{3}{4\sqrt{5}}$，OQ=$\frac{20}{3}$．
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，12）或（0，$\frac{20}{3}$）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，9）或（0，2）或（0，12）或（0，$\frac{20}{3}$）時(shí)，點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形相似于△ABO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．