Question

2．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），作等邊△ABC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理可求AB=2$\sqrt{5}$，作線段AB的垂直平分線，交線段AB于D，以B點(diǎn)為圓心，2$\sqrt{5}$為半徑畫弧，與線段AB的垂直平分線交于C₁、C₂，連接AC₁、AC₂，在直角三角形BC₁D中，解直角三角形得：C₁D，C₂D，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：作線段AB的垂直平分線，交線段AB于D，以B點(diǎn)為圓心，2$\sqrt{5}$為半徑畫弧，與線段AB的垂直平分線交于C₁、C₂，連接AC₁、AC₂，
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式為y=-2x+4，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)直線DC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b₁，則$\frac{1}{2}$+b₁=2，
解得b₁=$\frac{3}{2}$，
故直線DC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），則（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$-2）²=（2$\sqrt{5}$÷2×$\sqrt{3}$）²，
解得m₁=1+2$\sqrt{3}$，m₂=1-2$\sqrt{3}$
當(dāng)m₁=1+2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
當(dāng)m₂=1-2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2-$\sqrt{3}$．
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），（1-2$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度適中，找出點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵．