Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE（E與C對應(yīng)，D與B對應(yīng)），連接EC并延長交BD于F．
（1）求證：∠DEF=∠BCF；
（2）求證：BF=DF；
（3）當(dāng)AC=BC時(shí)，連接BE，若△BCE的面積等于2，求BD的長？

Answer 1

分析 （1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，則AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，利用等角的余角相等得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)全等三角形，證明△EDF≌△CBN，再利用等角對等邊和等量代換得：BF=DF；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建三角形的高線，利用三角形全等得EF=CN，則EC=FN，所以△ECB和△FBN是等底同高的兩個(gè)三角形面積相等，設(shè)FM=x，根據(jù)△BCE的面積等于2列式求出x的值，則DB=4．

解答 證明：（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠CEA=∠ECA，
∴∠DEF+∠AEC=90°，∠ECA+∠BCF=90°，
∴∠DEF=∠BCF；
（2）如圖2，作∠CBN=∠EDF，交EF延長線于點(diǎn)N，
∵DE=BC，∠DEF=∠BCF，
∴△EDF≌△CBN，
∴DF=BN，∠DFE=∠N，
∵∠DFE=∠BFN，
∴∠BFN=∠N，
∴BF=BN，
∴BF=DF；
（3）如圖3，作∠CBN=∠EDF，交EF延長線于點(diǎn)N，過B作BM⊥EN于M，連接AF，
由（2）得：△EDF≌△CBN，
∴EF=CN，
∴EF-CF=CN-CF，
即EC=FN，
∵AD=AB，DF=BF，
∴AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴A、C、F、B四點(diǎn)共圓，
∴∠CFA=∠CBA=45°，
∴∠BFN=180°-90°-45°=45°，
∴△FMB是等腰直角三角形，
設(shè)FM=x，則BM=FM=MN=x，
∵S_△ECB=$\frac{1}{2}$EC•BM，
S_△BFN=$\frac{1}{2}$FN•BM，
∴S_△ECB=S_△BFN，
∵S_△ECB=2，
∴$\frac{1}{2}$•2x•x=2，
x=±$\sqrt{2}$，
∴FM=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$FM=2，
∴BD=2BF=4．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，也是旋轉(zhuǎn)變換問題，首先明確旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；巧妙地做一個(gè)角等于已知角，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，根據(jù)對應(yīng)邊相等與等角對等邊相結(jié)合得出結(jié)論；本題還利用了四點(diǎn)共圓證明兩角相等，等腰直角三角形的銳角是45°和斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍，以及利用三角形面積公式求出邊的長度．