Question

16．點(diǎn)P到∠AOB的距離定義如下：點(diǎn)Q為∠AOB的兩邊上的動點(diǎn)，當(dāng)PQ最小時，我們稱此時PQ的長度為點(diǎn)P到∠AOB的距離，記為d（P，∠AOB）．特別的，當(dāng)點(diǎn)P在∠AOB的邊上時，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0）．
（1）如圖1，若M（0，2），N（-1，0），則d（M，∠AOB）=1，d（N，∠AOB）=1；
（2）在正方形OABC中，點(diǎn)B（4，4）．
①如圖2，若點(diǎn)P在直線y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖3，若點(diǎn)P在拋物線y=x²-4上，滿足d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$的點(diǎn)P有4個，請你畫出示意圖，并標(biāo)出點(diǎn)P．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)M（0，2），∠AOB=60°，得出d（M，∠AOB）=$\frac{1}{2}$OM=1；再根據(jù)N（-1，0），得出d（N，∠AOB）=ON=1；
（2）先設(shè)P（x，3x+4），當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{EF}$上時，根據(jù)勾股定理列出方程x²+（3x+4）²=8，求得x的值即可；當(dāng)點(diǎn)P在射線FG上時，根據(jù)P到射線OB的距離為$2\sqrt{2}$，得出點(diǎn)C到OB的距離為$2\sqrt{2}$，最后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點(diǎn)P在拋物線y=x²-4上，滿足d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$，畫出與OB距離為2$\sqrt{2}$的平行線，與x軸距離為2$\sqrt{2}$的平行線以及以O(shè)為圓心，2$\sqrt{2}$長為半徑的弧線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求．

解答 解：（1）∵M(jìn)（0，2），∠AOB=60°，
∴d（M，∠AOB）=$\frac{1}{2}$OM=1；
∵N（-1，0），
∴d（N，∠AOB）=ON=1；
故答案為：1；1．

（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{EF}$上時，OP=$2\sqrt{2}$，
設(shè)P（x，3x+4），則
x²+（3x+4）²=8，
解得${x_1}=-2，{x_2}=-\frac{2}{5}$（舍），
∴P（-2，-2）；
點(diǎn)P在射線FG上時，P到射線OB的距離為$2\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)C到OB的距離為$2\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴P（0，4），
綜上所述，P（-2，-2）或（0，4）．

②如圖所示，點(diǎn)P有4個．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)P到∠AOB的距離定義，解題時注意靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．解題時注意：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．