Question

4．如圖1，直線l：y=x+3與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線y=（x+1）²+k與另一拋物線y=（x-h）²+3+h（h≠1）交于點(diǎn)C，這兩條拋物線的頂點(diǎn)分別為B，D．
（1）求k的值；
（2）判斷點(diǎn)B和點(diǎn)D是否在直線l上，并說(shuō)明理由；
（3）用含h的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（4）當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，求h的值；并直接寫出當(dāng)∠ACD＞90°時(shí)h的范圍（圖2供參考）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)式函數(shù)解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于h的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A為y=x+3與y軸的交點(diǎn)，
∴A（0，3），
把A（0，3）代入y=（x+1）²+k得k+1=3，
解得k=2；
（2）∵y=（x+1）²+2的頂點(diǎn)為B，
∴B（-1，2）
代入y=x+3得y=-1+3=2，
∴B在直線l上，
∵y=（x-h）²+3+h頂點(diǎn)為D，
∴D（h，3+h）
代入y=x+3得y=h+3，
∴D在直線l上；
（3）聯(lián)立y=（x+1）²+2和y=（x-h）²+3+h，
得 （x+1）²+2=（x-h）²+3+h，
整理得2x（h+1）=h（h+1）
∵h(yuǎn)≠-1，
∴x=$\frac{1}{2}$h．
 此時(shí)y_C=（$\frac{h}{2}$+1）²+2=$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3
C點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），h，3+h）
（4）A（0，3），D（h，3+h），C點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），
當(dāng)∠ACD=90°時(shí)AC²+CD²=AD²，
又∵AC²=（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²，CD²=$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²，AD²=h²+h²，
∴（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²+$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²=h²+h²，
整理得$\frac{{h}^{2}}{4}$+h-1=0
解得h₁=2$\sqrt{2}$-2，h₂=-2$\sqrt{2}$-2；
要使∠ACD＞90°只須-2$\sqrt{2}$-2＜h＜2$\sqrt{2}$-2且h≠-1，h≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式是解題關(guān)鍵；利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式點(diǎn)在函數(shù)圖象上是解題關(guān)鍵；解方程組是求C點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)鍵；利用勾股定理是解題關(guān)鍵．