Question

如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：
①S₁+S₃=S₂+S₄；②若S₃=S₁，則S₄=3S₂；③若S₁=S₄，則S₂=2S₃；④若S₁-S₂=S₃-S₄，能判斷P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上的正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：分別設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD邊上的高為h、l、m、n，可分別表示出其面積，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)依次判斷即可．

解答：解：分別設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD邊上的高為h、l、m、n，設(shè)四邊形ABCD的AB邊上的高為o，BC邊上的高為p，
則h+m=o，l+n=p，
∴S₁=

1

2

AB•h，S₂=

1

2

BC•l，S₃=

1

2

CD•m，S₄=

1

2

DA•n，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，BC=DA，且S_{四邊形ABCD}=AB•o=BC•p
∴S₁+S₃=S₁=

1

2

AB•h+

1

2

CD•m=

1

2

AB•o，S₂+S₄=S₁=

1

2

BC•l+

1

2

DA•n=

1

2

BC•p，
∴S₁+S₃=S₂+S₄，
故①正確；
若S₃=S₁，即

1

2

AB•h=

1

2

CD•m，且AB=CD，
∴h=m，即P點(diǎn)在o的中點(diǎn)，但在p的位置是不確定的，
∴S₄=3S₂不一定成立，
故②不正確；
當(dāng)S₁=S₄時(shí)，由①可知S₁+S₃=S₂+S₄，
∴S₃=S₂，
故③不正確；
當(dāng)S₁-S₂=S₃-S₄（1），且S₁+S₃=S₂+S₄（2），
（1）+（2）可得S₁=S₂，（1）-（2）可得S₃=S₄，
∴點(diǎn)P在BD上，
故④正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對(duì)角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分的四邊形?平行四邊形．