Question

10．如圖①點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）證明：EF平分線段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到圖②時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=CD，利用等式的性質(zhì)得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BG=CG，即可得證；
（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由AC=DB，利用等式的性質(zhì)得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BG=CG，即可得證．

解答 （1）證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠FBG=90°}\\{∠EGC=∠BGF}\\{EC=FB}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF平分線段BC；
（2）（1）中結(jié)論成立，理由為：
證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠FBG=90°}\\{∠EGC=∠BGF}\\{EC=FB}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF平分線段BC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．