Question

5．如圖，二次函數(shù)y=ax²-2amx-3am²（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于C（0，-3），點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．
（1）直接寫出關于此函數(shù)圖象的兩條性質；
（2）用含m的代數(shù)式表示a；
（3）試求AD：AE的值；
（4）設該二次函數(shù)圖象的頂點為F，探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象和解析式寫出函數(shù)圖象的兩條性質即可；
（2）把點C（0，-3）代入y=ax²-2amx-3am²整理得到答案；
（3）過點D、E分別做x軸的垂線，用m表示點A、B的坐標，根據(jù)CD∥AB確定點D的坐標，證明△ADM∽△AEN，得到成比例線段，代入計算即可；
（4）作FH⊥x軸于H，連接FC并延長，與x軸的負半軸交于點G，運用銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理表示出GF、AD、AE，根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可．

解答 解：（1）1．∵a＞0，∴拋物線開口向上；
∵-3am²＜0，∴拋物線交于y軸的負半軸．
（2）將點C（0，-3）代入y=ax²-2amx-3am²得，
a=$\frac{1}{{m}^{2}}$；
（3）過點D、E分別做x軸的垂線，垂足為M、N，
由ax²-2amx-3am²=0得，x₁=-m，x₂=3m，
則A（-m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴點D的坐標為（2m，-3），
∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，又∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{EN}$，
設點E的坐標為（x，$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{2x}{m}$-3），
則$\frac{3}{\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2x}{m}-3}$=$\frac{3m}{x-（-m）}$，
解得x=4m，∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{3}{5}$；
（4）設點F（m，-4），作FH⊥x軸于H，連接FC并延長，與x軸的負半軸交于點G，
則點G即為所求，
∵tan∠CGO=$\frac{OC}{OG}$，tan∠FGH=$\frac{HF}{HG}$，
∴$\frac{OC}{OG}$=$\frac{HF}{HG}$，∴OG=3，
∵GF=$\sqrt{G{H}^{2}+H{F}^{2}}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
AD=$\sqrt{A{M}^{2}+M{D}^{2}}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴$\frac{GF}{AD}$=$\frac{4}{3}$，又∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G的橫坐標為-3m．

點評 本題考查的是二次函數(shù)的性質和應用、三角形相似的判定和性質，正確找出輔助線、運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵，注意坐標與圖形的關系．