Question

15．如圖，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15．
（1）探究：如圖1，作AH⊥BC于點H，則AH=12，△ABC的面積S_△ABC=84．
（2）拓展：如圖2，點D在邊AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BD=x，AE+CF=y．
①求y與x的函數關系式，并求y的最大值和最小值；
②對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，請求出這樣的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設AH=x，則CH=14-x，再根據勾股定理求出x的值，進而可得出AH的長，利用三角形的面積公式可直接求出△ABC的面積；
（2）①設AE=m，CF=n，則m+n=y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面積，根據S_△ABC=S_△ABD+S_△CBD即可得到m+n關于x的反比例函數關系式．根據垂直線段最短的性質，當BD⊥AC時，x最小，由面積公式可求得；因為AB=13，BC=14，所以當BD=BC=14時，x最大．從而根據反比例函數的性質求出y的最大值和最小值；
②當x=$\frac{56}{3}$時，此時BD⊥AC，在線段AC上存在唯一的點D；當$\frac{56}{3}$＜x≤13時，此時在線段AC上存在兩點D；當13＜x≤14時，此時在線段AC上存在唯一的點D．因此x的取值范圍為x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，AH⊥BC于點H，
∴設AH=x，則CH=14-x，
∴AB²-AH²=AC²-CH²，即13²-x²=15²-（14-x）²，解得x=5，即AH=5，
∴BH=$\sqrt{{AB}^{2}-{BH}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×14×12=84．
故答案為：12，84；

（2）①設AE=m，CF=n，則m+n=y，
∵由三角形面積公式，得S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$xm，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CF=$\frac{1}{2}$xn，
∴m=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，n=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴y=m+n=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{2{S}_{△ABC}}{x}$=$\frac{168}{x}$，即y=$\frac{168}{x}$．
∵△ABC中AC邊上的高為$\frac{2{S}_{△ABC}}{AC}$=$\frac{168}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范圍為$\frac{56}{5}$≤x≤14．
∵m+n隨x的增大而減小，
∴當x=$\frac{56}{5}$時，y的最大值為15，當x=14時，y的最小值為12．
②∵當x=$\frac{56}{3}$時，BD⊥AC，
∴線段AC上存在唯一的點D；
當$\frac{56}{3}$＜x≤13時，此時在線段AC上存在兩點D；
當13＜x≤14時，此時在線段AC上存在唯一的點D．
∴x的取值范圍為x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，在解答此題時要注意三角形面積的靈活應用，難度適中．