Question

如圖①，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，M是AB中點(diǎn)，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：ME=MF，ME⊥MF；
（2）如點(diǎn)P移動(dòng)至AB的延長線上，如圖②，是否仍有如上結(jié)論？請(qǐng)予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CM，易證四邊形CEFP是矩形，可得FP=CE，即可求得CE=PF=BF，即可證明△ECM≌△FBM，可得EM=FM，∠EMC=∠FMB，即可解題；
（2）連接CM，易證四邊形CEP'F是矩形，可得P'F=CE，BF=FP'，即可證明△CEM≌△BFM，可得ME=MF，∠CME=∠BMF，即可解題．

解答：證明：（1）連接CM，

∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四邊形CEFP是矩形，
∴FP=CE，
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠ACM=∠B=45°，CM⊥AB，CM=BM，
∵PF⊥BC，
∴△BFP為等腰直角三角形，
∴PF=BF，
∴CE=PF=BF，
在△ECM和△FBM中，

CE=BF ∠ACM=∠B CM=BM

，
∴△ECM≌△FBM（SAS），
∴EM=FM，∠EMC=∠FMB，
∵∠FMB+∠CMF=90°，
∴∠EMC+∠CMF=90°．即EM⊥FM；
（2）連接CM，

∵P'F⊥CF，P'E⊥CE，
∴四邊形CEP'F是矩形，∴P'F=CE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBM=∠BCM=45°，BM=BM，CM⊥AB，
∴∠MBF=∠MCE=135°，∠FBP'=45°，
∴BF=FP'，
在△CEM和△BFM中，

CM=BM ∠MCE=∠MBF CE=BF

，
∴△CEM≌△BFM（SAS），
∴ME=MF，∠CME=∠BMF，
∵∠CMB+∠EMB=90°，
∴∠EMB+∠FMB=∠EMF=90°，即EM⊥FM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CEM≌△BFM是解題的關(guān)鍵．