Question

1．如圖，△ABC中，∠A=90°，O為其內心（角平分線交點），射線BO、CO交AC、AB于點D、E，連接DE，點F為DE的中點，連接OF，求證：OF⊥BC．

Answer 1

分析 如圖，延長OF到M，使得OF=FM，延長FO交BC于點H，在BC上截取BF=BE，CG=CD，連接OF、OG、EM、DM，只要證明△MEO≌△GOF，得到∠MOE=∠OFG，由∠MOE+∠FOH=90°推出∠OFH+∠FOH=90°，延長即可解決問題．

解答 證明：如圖，延長OF到M，使得OF=FM，延長FO交BC于點H，在BC上截取BF=BE，CG=CD，連接OF、OG、EM、DM．

∵FE=FD，OF=FM，
∴四邊形EMDO是平行四邊形，
∴EM∥OD，EM=OD，
∵∠A=90°，O是內心，
∴∠MEO=∠DOC=45°，
在△BOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBE=∠OBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OBF，
∴OE=OF，同理OD=OG=EM，
∴∠EOB=∠DOC=∠BOF=∠COG=45°，
∴∠FOG=45°=∠MEO，
在△MEO和△GOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=OG}\\{∠MEO=∠GOF}\\{EO=OF}\end{array}\right.$，
∴△MEO≌△GOF，
∴∠MOE=∠OFG，
∵∠MOE+∠FOH=90°，
∴∠FOH+∠OFH=90°，
∴∠OHF=90°，
∴OF⊥BC．

點評 本題考查三角形內切圓與內心，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．