Question

11．定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)稱為和美四邊形的中心．

（1）寫出一種你學(xué)過(guò)的和美四邊形正方形；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是A．
A．矩形   B．菱形   C．正方形   D．無(wú)法確定
（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S₁、S₂、S₃、S₄，用等式表示S₁、S₂、S₃、S₄的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由）
（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=3，BC=2，CD=4，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直解答；
（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；
（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；
（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）正方形是學(xué)過(guò)的和美四邊形，
故答案為：正方形；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，
故選：A．
（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，
則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴△AOE的面積=△BOE的面積，△BOF的面積=△COF的面積，△COG的面積=△DOG的面積，△DOH的面積=△AOH的面積，
∴S₁+S₃=△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積=S₂+S₄；
（4）如圖2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO²=AB²-BO²，Rt△DOC中，DO²=DC²-CO²，AB=3，BC=2，CD=4，
∴可得AD²=AO²+DO²=AB²-BO²+DC²-CO²=AB²+DC²-BC²=3²+4²-2²=21，
即可得AD=$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應(yīng)用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．