Question

3．已知某拋物線是由y=-$\frac{1}{2}$x²沿y軸向上平移得到的，且知道它經(jīng)過點(diǎn)（2，3）．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若這條拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，試求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），再利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律，把點(diǎn)（0，0）向上平移m個單位所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），則根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移的拋物線解析式為y=x²+m，然后把點(diǎn)（2，3）代入求出m的值即可得到平移后得到的拋物線的解析式．
（2）由拋物線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求得．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)（0，0）向上平移m個單位所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），
∴平移的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+m，把點(diǎn)（2，3）代入得
-2+m=3，解得m=5，
∴平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+5．
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）．
（2）令y=0，則-$\frac{1}{2}$x²+5=0，
解得x=±$\sqrt{10}$，
∴A（-$\sqrt{10}$，0），B（$\sqrt{10}$，0），
∴AB=2$\sqrt{10}$，
∴△PAB的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×5=5$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及拋物線與x軸的交點(diǎn)，求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．