Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB為邊向外作等腰Rt△ABO，AC=5，OC²=72，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，AM⊥OM于M，OM=CF．
（1）求證：△AMO≌△OFB；
（2）求BC的長(zhǎng)；
（3）求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠MOF=90°，然后求出∠AOM=∠BOF，再利用“角角邊”證明△AMO和△OFB全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OM=OF，AM=BF，從而得到△CFO是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CF，再求出△COM是等腰直角三角形，然后求AM的長(zhǎng)，最后根據(jù)BC=CF+BF計(jì)算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OB，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）證明：∵OF⊥BC，AM⊥OM，
∴∠M=∠OFC=90°，
∴∠M=∠OFB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MOF=360°-90°×3=90°，
∴∠AOM+∠AOF=90°，
在等腰Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠BOF+∠AOF=90°，
∴∠AOM=∠BOF，
在△AMO和△OFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠OFB=90°}\\{∠AOM=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△OFB（AAS）；

（2）解：∵△AMO≌△OFB，
∴OM=OF，AM=BF，
∵OM=CF，
∴OF=CF，
又∵∠OFC=90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{72}$=6，
∵∠ACB=90°，∠FCO=45°，
∴∠ACO=90°-45°=45°，
又∵∠M=90°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴CM=OM=CF=6，
∵AC=5，
∴AM=AM-AC=A6-5=1，
∴BF=AM=1，
∴BC=CF+BF=6+1=7；

（3）解：在Rt△FBO中，由勾股定理得，OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
△ABO的面積=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$OB•OB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{37}$×$\sqrt{37}$=$\frac{37}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．