Question

9．如圖：已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，CQ切⊙O于點(diǎn)Q．則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，切線(xiàn)CQ的長(zhǎng)的最大值為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 首先連接OQ，由CQ切⊙O于點(diǎn)Q，可得當(dāng)OQ最小時(shí)，CQ最大，即當(dāng)OP⊥AB時(shí)，CQ最大，然后由菱形與直角三角形的性質(zhì)，求得OP的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 解：連接OQ，
∵CQ切⊙O于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥CQ，
∴∠CQO=90°，
∴CQ=$\sqrt{O{C}^{2}-O{Q}^{2}}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴OC是定值，則當(dāng)OQ最小時(shí)，CQ最大，
即OP最小時(shí)，CQ最大，
∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，CQ最大，此時(shí)OQ=OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴CQ=$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意得到當(dāng)OP⊥AB時(shí)，CQ最大是關(guān)鍵．