Question

3．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°
（1）如果DC=10，BC=11，AB=12，NM垂直平分AD于M，交BC于N，求MN的長；
（2）探究：如果AB+CD=2BC，M仍為AD的垂直平分線且交BC于N，MN與AD是否相等？若相等，請證明，若不相等，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作DE垂直AB于E，連接DN、AN，先證明四邊形EBCD是矩形，得出AE=AB-DC=2，DE=BC=11，AD=5$\sqrt{5}$，由線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理求出CN、BN，得出AN，再由勾股定理求出MN即可；
（2）取CB中點P，連接MP，作DE⊥AB交AB于E，證出MP是梯形ABCD的中位線，得出MP∥DC，由AAS證明△ADE≌△MNP，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 解：（1）作DE垂直AB于E，連接DN、AN，如圖所示：
∵四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，
∴四邊形ABCD是直角梯形，
∵DE⊥AB，
∴四邊形EBCD是矩形，
∴AE=AB-DC=12-10=2，DE=BC=11，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{1}^{2}+{2}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵M(jìn)N垂直平分AD于M，
∴DN=AN，AM=DM=$\frac{AD}{2}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：DN²=CN²+10²，AN²=BN²+12²，
∵DN=AN
∴CN²+10²=BN²+12²，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{C{N}^{2}+1{0}^{2}=B{N}^{2}+1{2}^{2}}\\{CN+BN=11}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{CN=7.5}\\{BN=3.5}\end{array}\right.$，
∴AN=DN=12.5
∵M(jìn)N²=AN²-AM²
∴MN=$\sqrt{12．{5}^{2}-（\frac{5\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{156.25-31.25}$=5$\sqrt{5}$；
（2）MN=AD；理由如下：
取CB中點P，連接MP，作DE⊥AB交AB于E，如圖2所示：
則DE=BC，
∵M(jìn)、P分別是AD、CB的中點，
∴MP是梯形ABCD的中位線，
∴MP∥DC，AB+CD=2MP，
∴∠MPN=90°=∠DEA，
∵∠BAD+∠ADC=180°，
∠MNP+∠ADC=180°，
∴∠MNP=∠BAD，
又∵AB+CD=2BC，BC=DE，
∴MP=DE，
在Rt△ADE與Rt△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPN=∠AED=90°}\\{∠MNP=∠EAD}\\{DE=MP}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MNP（AAS），
∴MN=AD．

點評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形中位線定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．