Question

15．正方形ABCD中，點(diǎn)G為BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F．
（1）若點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，AB=4，F(xiàn)G=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求EF的長；
（2）求證：AF-BF=EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的在和已知條件易證△ABF≌△DAE，所以可得AE=BF，再利用勾股定理可求出AG的長，進(jìn)而可求出EF的長；
（2）由已知和（1）可知，當(dāng)G為BC上任意一點(diǎn)時，始終存在△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明AF-BF=EF．

解答 解：（1）∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠DAE}\\{∠AFB=∠AED=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$．
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
又∵G為BC的中點(diǎn)，AB=4，F(xiàn)G=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴BG=2，AG=2$\sqrt{5}$，BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
（2）由已知和（1）可知，當(dāng)G為BC上任意一點(diǎn)時，
始終存在△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，
∴AF-AE=EF=AF-BF．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，注意題目中相等線段的代替是解題關(guān)鍵．