Question

16．如圖，拋物線y=x²+bx+c交y軸于點A（0，-8），交x軸正半軸于點B（4，0）．
（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2x-8；
（2）有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點A、B之間移動，直尺兩長邊所在直線被線段AB和拋物線截得兩線段MN（M在N上方）、PQ（P在Q上方），設M點的橫坐標為m，（0＜m＜3）
①若連接MQ，求以M、P、Q為頂點的三角形和△AOB相似時，m的值；
②若連接NQ，請直接寫出m為何值時，四邊形MNQP的面積最大．

Answer 1

分析 （1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，于是可得到拋物線的解析式；
（2）如圖1所示：連接MQ．先求得直線AB的解析式，當△AOB∽△PQM時．可知MQ∥OB，設點M的坐標為（m，2m-8），則點Q的坐標為（m+1，m²-9）然后由M和Q的縱坐標相等可得到m的值；②當△PMQ∽△AOB時，過點M作MN⊥PQ，然后證明△MNQ∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可得到NQ=$\frac{1}{2}$，設點M的坐標為（m，2m-8），則點Q的坐標為（m，m²-9），然后根據(jù)NQ的長列方程求解即可；
（3）設點M的坐標為（m，2m-8），則點N（m，m²-2m-8）、P（m+1，2m-6），Q（m，m²-9），然后由四邊形MNQP的面積=$\frac{1}{2}$×1×（MN+PQ）得到四邊形MNQP的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c交y軸于點A（0，-8），
∴c=-8．
∵將B（4，0）代入y=x²+bx-8得：16+4b-8=0，解得：b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-8．
故答案為：y=x²-2x-8．
（2）如圖1所示：連接MQ．

設AB的解析式為y=kx+b．
將點A和點B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-8．
∴直線AB的解析式為y=2x-8．
∵PQ∥OA，
∴∠MPQ=∠OAB．
i．當△AOB∽△PQM時．則∠AOB=∠PQM=90°．
∴MQ∥OB．
設點M的坐標為（m，2m-8），則點Q的坐標為（m+1，m²-9）．
∵MQ∥OB，
∴2m-8=m²-9，解得m=$\sqrt{2}$+1或m=-$\sqrt{2}$+1（舍去）．
∴當m=$\sqrt{2}$+1時，△AOB∽△PQM．
ii．當△PMQ∽△AOB時，如圖1所示：過點M作MN⊥PQ．
∵△PMQ∽△AOB，
∴∠PMQ=∠AOB=90°，∠PQM=∠ABO．
∴∠MQN=∠ABO．
∵MN⊥PQ，
∴∠MNQ=90°．
∴∠MNQ=∠AOB．
∴△MNQ∽△AOB．
∴$\frac{QN}{MN}=\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵MN=1，
∴NQ=$\frac{1}{2}$．
設點M的坐標為（m，2m-8），則點Q的坐標為（m，m²-9）．
∴NQ=-m²+2m+1．
∴-m²+2m+1=$\frac{1}{2}$．
解得：m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1或m=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1（舍去）．
綜上所述，m的值為$\sqrt{2}$+1或$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1．
②設點M的坐標為（m，2m-8），則點N（m，m²-2m-8）、P（m+1，2m-6），Q（m，m²-9）．
四邊形MNQP的面積=$\frac{1}{2}$×1×（MN+PQ）=$\frac{1}{2}$（-2m²+6m+3）=-m²+3m+$\frac{3}{2}$．
當m=$\frac{-3}{-1×2}$=$\frac{3}{2}$時，四邊形MNQP的面積有最大值．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于m的方程以及四邊形MNQP的面積與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．