Question

5．如圖，△ABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，AB平分∠CAO，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）；
（2）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）正方形EFGH的頂點(diǎn)E在線段AB上，頂點(diǎn)F在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，邊GH在x軸上，求正方形EFGH的邊長；
（4）在（3）的條件下，將正方形EFGH向左平移多少個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)C與正方形EFHG頂點(diǎn)的連線所在直線將△ABC的面積二等分．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C與點(diǎn)B對(duì)稱得出點(diǎn)B坐標(biāo)，角平分線和平行得出∠CBA=∠CAB，根據(jù)等角對(duì)等邊得AC=BC=5，根據(jù)勾股定理得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并注意符號(hào)的書寫；
（2）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）利用待定系數(shù)法求直線AB的表達(dá)式，設(shè)出點(diǎn)H的坐標(biāo)（m，$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$），由正方形邊長相等表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線上，將F坐標(biāo)代入到拋物線的表達(dá)式中，求出m的值，并根據(jù)頂點(diǎn)F在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上取舍，計(jì)算出正方形EFGH的邊長；
（4）根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的二等分，先做出△ABC的中線CM，分四種情況討論：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在中線上時(shí)，分別求出平移的距離．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是x=$\frac{5}{2}$，C（0，4），
∴B（5，4），
∵AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，
∵BC∥x軸，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC=5，
由勾股定理得：OA=3，
∴A（-3，0）；
故答案為：（5，4），（-3，0）；
（2）把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4中得：a=-$\frac{1}{6}$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（3）AB所在直線的表達(dá)式是y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m，
∴y_H=$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴F（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），
把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4中得：$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{6}$（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{6}$（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$）+4，
解得：m₁=3，m₂=-3（舍去），
∴$\frac{1}{2}$×3+$\frac{3}{2}$=3，
∴正方形邊長為3．
（4）分四種情況：①圖1，線段AB的中點(diǎn)M（1，2），直線CM的表達(dá)式是y=-2x+4，當(dāng)H在直線CM上時(shí)，正方形EFGH向左平移了1個(gè)單位；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線CM上時(shí)，如圖2，正方形EFGH向左平移了$\frac{5}{2}$個(gè)單位；
③當(dāng)點(diǎn)G在直線CM上時(shí)，如圖2，正方形EFGH向左平移了4個(gè)單位；
④當(dāng)點(diǎn)F在直線CM上時(shí)，如圖2，正方形EFGH向左平移了$\frac{11}{2}$個(gè)單位；

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)與正方形平移的綜合題，考查了利用對(duì)稱性求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式；還要注意三角形的中線將三角形的面積二等分；平移的距離可以利用坐標(biāo)差來求．