Question

如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，AD=15，AO=12．動點P以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C勻速運動．同時，動點Q以每秒1個單位的速度從點D出發(fā)，沿DB向點B勻速運動．當其中有一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）求線段DO的長．
（2）設運動過程中△POQ兩直角邊的和為y，請求出y與t的函數(shù)關系式．
（3）請直接寫出，在整個運動過程中，使△POQ與△AOD相似時所有t的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)得到直角△AOD，在該直角三角形中利用勾股定理來求線段DO的長度；
（2）需要分類討論：點P在線段OA上、點Q在線段OD上；點P在線段OC上，點Q在線段OD上；點P在線段OC上，點Q在線段OB上；
（3）需要分類討論：△POQ∽△AOD、△QOP∽△AOD，利用相似三角形的對應邊成比例求得相應線段的長度，從而求得相應的時間．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOD中，AD=15，AO=12
由勾股定理得：
OD=

AD2-AO2

=

152-122

=9．

（2）①當0≤t≤6時，OP=12-2t，OQ=9-t，則OP+OQ=12-2t+9-t=-3t+21
即：y=-3t+21；
②當6＜t≤9時，OP=2t-12，OQ=9-t，則OP+OQ=2t-12+9-t=t-3
即：y=t-3；
③當9＜t≤12時，OP=2t-12，OQ=t-9，則OP+OQ=2t-12+t-9=3t-21
即：y=3t-21；
綜上所述：y=

-3t+21(0≤t≤6) t-3(6＜t≤9) 3t-21(9＜t≤12)

；

（3）①當0≤t≤6時，△POQ∽△AOD，則

OP

OA

=

OQ

OD

，即

12-2t

12

=

9-t

9

，解得 t=0，此時△POQ與△AOD重合；
②當0≤t≤6時，△QOP∽△AOD，則

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

9-t

12

，解得 t=

21

5

；
③當6＜t≤9時，△POQ∽△AOD，則

OP

OA

=

OQ

OD

，即

2t-12

12

=

9-t

9

，解得 t=

36

5

；
④當6＜t≤9時，△QOP∽△AOD，則

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

9-t

12

，解得 t=

75

11

；
⑤當9＜t≤12時，△POQ∽△AOD，則

OP

OA

=

OQ

OD

，即

2t-12

12

=

t-9

9

，解得 t=0，不合題意，舍去；
⑥當9＜t≤12時，△QOP∽△AOD，則

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

t-9

12

，解得 t=

21

5

，不合題意，舍去；
綜上所述，t=0或

21

5

或

36

5

或

75

11

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理以及函數(shù)關系式的書寫．解答（2）、（3）題時，一定要結合圖形，分類討論來解答，以防漏解或錯解．