Question

9．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=6．將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出DE=2，CE=4，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得PE=CE，F(xiàn)P=FC，∠EPF=∠C=90°，∠CFE=∠PFE，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠DPE=30°，從而得到∠DPF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CFP，再求出∠CFE=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，從而得解．

解答 解：∵DC=3DE=6，
∴DE=2，CE=4，
由翻折變換得，PE=CE，F(xiàn)P=FC，∠EPF=∠C=90°，∠CFE=∠PFE，
所以，在Rt△DPE中，∠DPE=30°，
所以，∠DPF=∠EPF+∠DPE=90°+30°=120°，
∵矩形對邊AD∥BC，
∴∠CFP=180°-∠DPF=180°-120°=60°，
∴∠CFE=$\frac{1}{2}$∠CFP=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴EF=2CE=2×4=8，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)C=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質(zhì)并確定出直角三角形中30°的角是解題的關(guān)鍵．