Question

19．現(xiàn)有一組有規(guī)律的數(shù)：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$…其中1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$這六個數(shù)按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)．
（1）第50個數(shù)是什么數(shù)？
（2）把從第1個數(shù)開始的前2017個數(shù)相加，結(jié)果是多少？
（3）從第1個數(shù)起，把連續(xù)若干個數(shù)的平方相加起來，如果和為520，那么一共是多少個數(shù)的平方相加？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)這列數(shù)的排列規(guī)律，可得每6個數(shù)一個循環(huán)：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，然后用50除以6，根據(jù)余數(shù)的情況判斷出第50個數(shù)是什么數(shù)即可；
（2）首先用2017除以6，求出一共有多少個循環(huán)，以及剩下的數(shù)是多少；然后用循環(huán)的個數(shù)乘以1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{3}$+（-$\sqrt{3}$）=0，再加上剩下的數(shù)，求出把從第1個數(shù)開始的前2015個數(shù)相加，結(jié)果是多少即可；
（3）首先求出1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$六個數(shù)的平方和是多少；然后用520除以六個數(shù)的平方和，根據(jù)商和余數(shù)的情況，判斷出一共有多少個數(shù)的平方相加即可．

解答 解：（1）這列數(shù)每6個數(shù)一個循環(huán)：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，
∴50÷6=8…2，
∴第50個數(shù)是-1．

（2）∵2017÷6=336…1，且1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{3}$+（-$\sqrt{3}$）=0，
∴從第1個數(shù)開始的前2017個數(shù)的和是：336×0+1=1．

（3）∵1²+（-1）²+（$\sqrt{2}$）²+（-$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²+（-$\sqrt{3}$）²=12，
520÷12=43…4，而且1²+（-1）²+（$\sqrt{2}$）²=4，
∴43×6+3=261，
即共有261個數(shù)的平方相加．

點評 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：這列數(shù)每6個數(shù)一個循環(huán)：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，而且每個循環(huán)的6個數(shù)的和是0．